Easyelectronics.ru

Приходилось со школьниками... но давно. а сейчас иногда обучаю сотрудников. У _всех_ на слово формула - идиосинкразия.
Зря вы так. хорошо получается. Просто надо понимать, "зачем". И желательно - чтоб прочитав кусок теории - можно было сразу "закрепить". Нам в свое время повезло в том, что в распоряжении был класс корветов. И после лекций по ЦОС (которые нам читали по "классическому учебнику Голда", в котором много-много заумных формул, и нет примеров (от слова совсем) ) мы могли прийти к себе в класс, и написать, скажем, БПФ. Или смоделировать фильтр. Поэтому - знания худо-бедно закрепились. Я вот думаю, что если б у нас вели первый семестр ЦОС "с использованием" книжек типа Сато, Айфичера и Смита - у нас все бы это усвоили и освоили (а по "академическим учебникам" - от силы четверть).
Кстати, о грустном: заходил как-то года четыре назад на кафедру похвастаться, встретил там бывшего зав.кафедрой, (ныне, увы, покойного). Так вот, он сказал, что "в связи с массовым неосиливанием современными студентами курса ЦОС было принято решение курс ЦОС отменить". вот так то...
Правда, после всех пертурбаций вроде в учебном плане курс остался...


Крутизна и максимальная неравномерность в полосах пропускания и подавления все равно для фильтра одного порядка будут одинаковы. Или я не прав?

Максимальная неравномерность в полосах пропускания и подавления для фильтра одного порядка будут одинаковы. А крутизна - наверное нет (будет зависеть от центральной частоты/полосы :-) Или я не прав? (с) Надо подумать! :-)

Историю Вы конечно мне рассказали более чем грустную...
Ну и у меня такие есть:
Лет 5 назад мне студент-заочник 5 курса нашего "МГУ" (Мирниский филиал Якутского ГУ) похвалился "курсовиком". Красивый, с векторными диаграммами, посвященный устойчивости усилителей. И имел я глупость, что-то его по этой теме спросить... Ответ был весьма достойный: "Афанасьич, ты что - дурак?". И мне на самом деле - стыдно стало... Понимал же, что курсовик с Интернета скачан, и, скорее всего, даже не прочитан... Но на что-то надеялся :-)
Но не будем о грустном! Есть и положительные моменты! В среде таких "студентов" чувствуешь себя, как минимум, "кандидатом наук". ЧСВ - зашкаливает! :-)

Крутизна сильно зависит от частоты (левый склон, правый склон).
Деформация частоты по тангенсу.
А если в ТЗ будет дБ на октаву - вообще весело будет :-)

Первый график - странный. не должно так быть: диапазоны полосы спада одинаковые, а крутизна разная.
Второй график - да, симметричен. как говорится, ч.т.д.
третий график тоже вполне адекватен: нижний спад в диапазоне 0.5, а верхний - в диапазоне 0,1. соответственной крутизны склоны мы и наблюдаем.
хотя, опять же, у меня опыта, увы, мало, чтоб однозначно утверждать...

это не самая грустная (наверное, самая грустная - это как чувак на диплом тумблер брал. я рассказывал много где, в т.ч. и тут)
а то, что чувак курсач из интернета скачал- плохо. но ведь есть кто-то, кто его туда выложил? и это - хорошо! :-) ("Ну и что, что х.. не стоит! зато как классно висит!!!"©)

ага. но "за державу обидно"©верещагин

Нужно на более высоких порядках посмотреть. Короче, вопросов возникает больше чем ожидалось :-)
Я всё-таки попытаюсь до логического конца свою статьи довести. Остались только преобразования аналогового ФНЧ в цифровой ФВЧ и РФ.

Статья Часть 3. опубликована! Итого имеем:
Часть 1.
Часть 2.
Часть 3.

Да, оказывается у нас не всё так уж и плохо. Здесь обсуждение одного "обучающего" иностранного ресурса:
http://www.dsplib.ru/forum/viewtopic.php?f=5&t=3734
:-)

Вопрос от Tharnee :Указанной Вами литературы, в первой статье, достаточно чтобы разобраться в основах, в «предистории» создания H(S), к примеру?...

По созданию H(S) мне этот сайт сайт больше всего нравится. Хотя мне статьи сложноватыми сначала показались. Не с первого раза конечно, но разобрался. Чуть более сложно — переход от H(S) к H(z). В статье приведён алгоритм численного расчёта дробно-рациональной подстановки. Мне показалось, что этот алгоритм в микроконтроллер будет трудно «засунуть», а коэффициенты фильтра хотелось именно в микроконтроллере рассчитывать. Пришлось пойти по более простому пути — вывод формулы коэффициентов в аналитическом виде; в формулу H(S) тупо подставлялось S=(1-z^{-1})/(1+z^{-1}) и получалась формула для H(z) ФНЧ.
Где-то до 3 порядка я шёл таким способом, пока не «изобрёл» матрицы z- преобразования.
Простота перехода от H(S) к H(z) с использованием соответствующей матрицы меня просто поразила! Я до сих пор не могу поверить, что этим способом раньше никто не пользовался, поэтому слово «изобрёл» взял в кавычки :-)… Хотя нигде пока матричного способа не встречал в литературе. Я вообще часто «изобретаю велосипеды»… Мне даже кажется, что на «Мировом конкурсе изобретателей велосипедов» я бы занял второе место! :-)
Матрицы для преобразования ФНЧ и ФВЧ очень простые и красивые получились, но когда я захотел по аналогии сделать преобразование в полосовой фильтр — меня ждал «большой облом». Я довольно быстро научился строить полосовой фильтр с частотой =FN/2 (FN- частота Найквиста), что, как оказалось, соответствует преобразованию:
S=(1+z^{-2})/(1-z^{-2}), а дальше дело «застопорилось». Всё-таки где-то через месяц я вывел формулу для полосового фильтра с произвольной центральной частотой S=(1+K(Fo,Fs)z^{-1}+z^{-2})/(1-z^{-2}).
Ровно через 3 дня я нашёл эту формулу практически того же вида в книге Р.Богнер, А.Костантинидис «Введение в цифровую фильтрацию». :-)

Многие меня упрекают (и совершенно обоснованно), в том что я обошёл проблему устойчивости БИХ фильтров...
Ну что я могу сказать в своё оправдание? Только то, что оправдания этому нет! :-)
Тем более задача декларировалась - построение "следящего" фильтра, т.е. такого фильтра, у которого коэффициенты могут пересчитываться хоть каждую выборку! И зависимость коэффициентов от частоты - непрерывная функция.
И надо доказать, что весь непрерывный набор коэффициентов даёт непрерывный набор устойчивых фильтров!

Рассмотрим ФНЧ Баттерворта 2 порядка.
Из матричного уравнения легко найдём коэффициенты H(z):

Нас будут интересовать только полюсы H(z), поэтому можно ограничиться рассмотрением коэффициентов Ai.
Решим уравнение А0*z^2+A1*z+A2=0
Найдём полюса и, что более важно |Zp|:

Критерий устойчивости |Zp|<1.
Если мы посмотрим на выражение для |Zp|, то увидим только два случая, когда |Zp|=1. Это:

Казалось, что можно жить, да радоваться... Если бы не ошибки округления...

Из графика видно, что "наилучший" случай, когда \beta=1.
На практике для фильтров 2 порядка можно ограничиться |Zp|<0.8, что соответствует 0.1<\beta<6
Из всего этого следует сделать важный практический вывод: выбирать частоту дискретизации так, чтобы проектируемый фильтр имел параметр \beta был как можно ближе к 1.
Пример: Если Fd=44100 Гц, а Вы вознамерились построить ФНЧ с частотой среза 50 Гц (\beta=0.003560106), то Вы не правы как минимум 2 раза:
1. Нерациональное расходование ресурсов микроконтроллера
2. Фильтр с большой долей вероятности может стать "неустойчивым"
Если Вам частота 44100 особенно дорога, то обязательно сделайте "децимацию" перед фильтрацией.

Возможно, если этот вопрос заинтересует многих, я напишу ещё одну статью "Цифровые рекурсивные фильтры. Часть 4. Устойчивость."

Вам не нравятся кошки БИХ- фильтры из-за их импотенциальной неустойчивости? Возможно Вы просто не умеете их готовить!

С повышением порядка фильтра диапазон \beta, при котором фильтр будет устойчив, уменьшается:

N- порядок фильтра.
На графике показано максимальное значение |Zp| из всех возможных при данном порядке.
При значениях порядка фильтра 6 и 7 диапазон "устойчивости" приблизительно составляет 0.2 <\beta< 5.
Напомню, что:

Fs - частота среза по уровню 3 дБ, FN- частота Найквиста.

Мне вот ещё показалась интересной возможность сделать простой переход от H(z)--> H(S) с помощью матриц z- преобразования:
Пусть Ai - коэффициенты Н(z) ФНЧ 2-го порядка, тогда коэффициенты ai H(S) определяются:

где матрица - обратная матрице z- преобразования ФНЧ 2-го порядка.
Зачем всё это нужно?
Предположим мы имеем вот такой замечательный фильтр. Задача - перестроить частоту фильтра, или вообще - превратить его в режекторный.
Не факт, конечно, что замечательные характеристики фильтра сохранятся после такого беспардонного вмешательства :-)...
Но если получится - это будет уже новое направление - "крэкинг цифровых фильтров" :-)

Рассмотрим ФВЧ с линейной ФЧХ в полосе пропускания, описанный здесь.
Тупо умножим многочлены числителя и знаменателя H(z) и поделим все на коэффициент Ao:

Для начала сделаем самое простое преобразование: ФВЧ - ФНЧ.
Для этого изменим знаки нечётных коэффициентов Ai, Bi (отмечены в таблице жёлтым цветом) на противоположные.
На этом расчёт ФНЧ с частотой среза Fsфнч=(1-Fsфвч) закончен!
.
Линейность ФЧХ в полосе пропускания сохранилась!

Заметим, что мы пришли бы точно к такому же результату, если бы изменили знаки коэффициентов a1, b1 во всех звеньях исходного фильтра!

Таким образом удалось элементарными преобразованиями превратить исходный ФВЧ в ФНЧ с Fs= 1-Fsфвч, сохранив линейность ФЧХ в полосе пропускания и целочисленность коэффициентов.
В дальнейшем мы попытаемся изменить частоту среза ФНЧ на произвольную величину.

ФЧХ полученного ФНЧ сохранила линейность в полосе пропускания:

Я думаю, что я частично ответил на вопрос: "А зачем нужны фильтры высоких порядков?".
При синтезе многозвенных фильтров порядок обычно получается высоким. И это не удивительно, т.к. "чисто конкретно" фильтрацией занимаются 1-2 звена, а остальные звенья , к примеру, линеаризуют ФЧХ.
Ссылки на статье по теме Целочисленное проектирование фильтров

Надо по осени (как закончится непонятный для вас сезон озер и пляжей) все-таки взяться, и изготовить пример применения по вашей методике.
например, обмусоленная цветомузыка, только на современный цифровой лад.
Если есть другие интересные темы и предложения - давайте обсудим...

Сдвинуть частоту среза полученного ФНЧ удалось:

Однако линейность ФЧХ сохранить не удалось!

Коэффициенты:

Ага, можно подумать... Да у Вас на всю Челябинскую область только одно приличное озеро было - Чебаркуль...:-)

Ладно, вернёмся к нашим фильтрам.
При уменьшении частоты среза линейность ФЧХ тоже не сохраняется:

Специально для тех кто интересуется БИХ - фильтрами с линейной фазой - статья:

Добрый день!

В Цифровые рекурсивные фильтры. Часть 1. представлены Аналоговые ФНЧ Баттерворта 1,2 и 3 порядка.
Подскажите как будут выглядеть Аналоговые ФНЧ Бесселя тех же порядков? Или где почитать именно про фильтры Бесселя?
И годится ли матричный метод вычисления коэффициентов для ФНЧ Бесселя?

Что-то нашел, оно или нет?

Бессель 1-го
H(S) = 1/(S+1)

Бессель 2-го
H(S) = 3/(S^2 +3S + 3)

Бессель 3-го
H(S) = 15/(S^3 + 6S^2 + 15S + 15)

Бессель n-го
H(S) = a0/B(s),
где B(s) = a0 + a1*s^1 + a2*s^2 +...+ an*s^n;
An = (2*N-n)!/[2^(N-n)*n!*(N-n)!]

Я с фильтрами Бесселя не работал. Но скажу, что переход H(S)-->H(z) с помощью матриц z- преобразования - это универсальный метод.
Ваши выражения для H(S) мне (на первый взгляд) кажутся довольно странными! По крайней мере, я считал что Бессель - ближе к Кауэру...
Вопрос очень интересный!!! По крайней мере без проблем можно H(z) - хотя бы для 2-го порядка вычислить и сравнить dФ/df - у фильтров Бесселя этот параметр должен быть минимальным - по сравнению с другими типами фильтров!

"Бессель 2-го порядка: H(S) = 3/(S^2 +3S + 3)"
Сделаем преобразование ФНЧ--> ФНЧ - S=S/wср, где wср- частота среза.
H(S) = 3 wср^2/(S^2 +3 wср S + 3 wср^2)
Находим коэффициенты H(z)
A=K [1,3 wср,3 wср^2]

Bi=3 wср^2[1,2,1]
Ну и теперь - только построить АЧХ и ФЧХ :-)

Пусть wср=1, что соответствует частоте среза 1/2 Найквиста.

A0=1+3+3=7; A1=-2+0+2*3=4; A2=1-3+3=1

B0=3;B1=6; B2=3
Окончательно:

Очень похоже на фильтр с минимальной ГВЗ!
Но в этом случае надо бы учесть трансформацию частотной шкалы!
Я теперь уже сомневаюсь, что мои матрицы фильтры Бесселя будут хорошо описывать!
В любом случае - благодарю за вопрос! Буду думать :-)
Ссылка:
http://www-users.cs.york.ac.uk/~fisher/mkfilter/trad.html
Пункт 7:Click here for further information about the matched z-transform, and about Bessel filters in particular.